0.999...=1인 것을 쉽게 이해시켜 드립니다

0.999...=1인 것을 쉽게 이해시켜 드립니다

 

뇌를 채워줄 은덩어리 지식들 은근한 잡다한 지식입니다

일러스트를 이용해 최대한 쉽고 간단하게 내용을 전달하기 위해 노력하고 있습니다

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0.999=1 이라고?

 

0.999...에 대해 생각해 본 적 있나요

어떤 소수가 있을 때
소수점 아래의 숫자가 무한히 많은 소수를
무한소수라고 합니다

무한소수는 끝없이 이어지기 때문에
그 숫자를 모두 표시할 수 없어 일정 부분만 표현하고
나머지는 ...으로 대체하곤 합니다

https://youtu.be/TUfwrGYkHTw

 

이때 끝없이 이어지는 숫자가 어떤 규칙을 가지고 반복하면
예를 들어 0.99999999...가 계속 반복된다고 하면
이 수는 무한소수이자 순환소수이며
반복되는 9를 순환마디라고 합니다

그런데 0.999...는 1 과 같다라는 말이 있습니다

1은 1이고 0.999...는 0.으로 시작하기 때문에
아무리 봐도 1보단 작을 것 같은데 말이죠

결론부터 말하면 0.999...는 1이 맞습니다
그리고 생각보다 간단하게 증명할 수 있습니다

1/3을 소수 표현하면 0.333...이 됩니다

양변에 같은 수를 곱하면 그 등식은 여전히 성립하기 때문에
양변에 3을 곱해준다고 하면

3x1/3 = 3x0.333...이 되고
이것을 풀어보면 1=0.999...가 됩니다

엥?
굉장히 쉽죠?

케이크 하나를 세명이 똑같이 나누어 먹는다고 하면
0.333..개씩 먹게 됩니다

그런데 나눈 케이크를 먹지 말고 다시 하나로 합쳐봅시다
0.333...+0.333...+0.333...이 됩니다
이것을 계산하면 0.999...입니다

케이크를 그냥 나누었다가 다시 합쳤을 뿐인데
1이 0.999...가 되어버렸습니다
즉 1=0.999...라는 것입니다

1/11은 0.0909... 순환마디가 09인 순환소수입니다
10/11은 0.9090... 순환마디가 90인 순환소수입니다

이 둘을 더 하면 11/11=0.999...가 됩니다

11/11은 1이므로 1=0.999...입니다

양의 정수, 0, 음의 정수, 유한소수, 순환소수를 합쳐
유리수라고 합니다

그리고 순환하지 않는 무한소수(비순환소수)를
무리수라고 하죠

유리수와 무리수를 합쳐 실수라고 합니다
실수는 수직선을 빈틈없이 채울 수 있습니다

이것을 실수의 완비성이라고 하죠

이때 두 개의 숫자 사이에 어떤 숫자가 올 수 있다면
그 두 개의 수는 서로 다른 것으로 봅니다

예를 들어 0과 1이 있다고 하면
0과 1 사이에는 0.1이라는 수가 올 수 있으니
0과 1은 다른 수입니다

반대로 두 개의 숫자 사이에 어떤 숫자가 올 수 없다면
그 두 개의 수는 서로 같은 것으로 봅니다

1과 0.999... 사이에 어떤 수가 올 수 있을까요
9가 끝없이 이어지기 때문에 1과 0.999... 사이에는
그 어떤 수도 올 수 없습니다

그렇기 때문에 0.999...=1인 것입니다

도대체 왜 이런 일이 일어나는 것일까요
0.으로 시작하는 수가 1과 같다니

이것은 우리가 학교에서 무한이라는 개념을 배울 때
끝없이 다가가는 수라고 배우기 때문입니다

그래서 0.999...는 1에 끝없이 다가가는 수이지
1은 아니다 라고 생각하는 것이죠

그런데 사실 끝없이 다가가는 수라는 건 없습니다
무한이라는 개념을 쉽게 이해시키기 위해 그렇게 표현한 것이지
숫자는 어딜 향해 움직이거나 다가가지 않습니다

0.999...=1이라는 것은
극한, lim를 사용하면 더 자세히 증명할 수 있습니다

극한을 정리하는 방법을 엡실론 델타 논법이라고 합니다
그런데 엡실론 델타 논법에 대해선
저보다 수학을 더 잘하는 수학 전문가
최정담에게 설명을 듣는 것이 좋겠습니다

<수학을 읽는 힘> 링크 : https://url.kr/c2igu5

수학을 읽는 힘 | 최정담(디멘) - 교보문고

 

최정담의 책 수학을 읽는 힘을 보면
0.999...가 왜 1인가에 대해 더 자세히 나와있습니다

뿐만 아니라 영원히 도착할 수 없는 제논의 역설
0이라는 숫자가 등장하게 된 이유
행성 공전에 대한 케플러의 법칙
암호 기계인 에니그마에 대한 내용 같은 것들을

수학이 어려운 사람도 흥미를 가지고 볼 수 있게
쉽고 재밌게 풀어줍니다
최정담의 책 수학을 읽는 힘
금덩어리 분들의 많은 관심 부탁드립니다