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사다리타기의 추악한 진실

 

뇌를 채워줄 은덩어리 지식들 은근한 잡다한 지식입니다

일러스트를 이용해 최대한 쉽고 간단하게 내용을 전달하기 위해 노력하고 있습니다

많은 관심과 시청 부탁드리겠습니다

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세상에서 가장 불공평한 게임


사람들과 내기를 하거나 술래를 한 명 정해야 할 때
여러 가지 방법을 사용합니다

가장 간편한 것이 가위바위보인데
이상하게 상성이 있는 것 같고 심리전을 쓰는 사람도 있어
공정하지 못하다는 생각이 들 때가 있습니다

제비뽑기는 무작위 추첨이기 때문에 공정하긴 하지만
뭔가 허무합니다

사다리타기는 술래가 걸리기까지
묘한 긴장감과 쫄깃함이 있고
상성이나 심리전 같은 것도 없어
가장 재미있으면서 가장 공평한 게임인 것처럼 느껴집니다

간단하게 만들든 복잡하게 만들든
하나의 번호에는 하나의 결과만
즉 결과가 중복되지 않는 일대일 대응을 하게 됩니다

그래서 어떤 번호를 고르던 확률은 같다고 생각할 수 있지만
사실은 그렇지 않습니다

사다리타기는 출발점과 도착점에 대한 확률이 다르고
이것을 이용해 승률을 높일 수 있는 방법이 존재하는
가장 공평하지 않은 게임입니다



여기 사다리가 있습니다 네 번째 도착점이 당첨이라고 하면
여러분은 몇 번을 선택하실 건가요

만약 저라면 당첨이 좋은 것이라면 4번을
좋지 않은 것이라면 8번을 선택할 것입니다

그럼 사다리를 타고 내려가보죠
8번을 선택했다면 아쉽지만 당첨과는 거리가 머네요
그렇다면 4번을 선택한다면
축하드립니다 당첨입니다

물론 이 사다리는 제가 의도적으로 4번을 선택하면
당첨이 되게끔 만든 것입니다

 


하지만 무작위로 만든 사다리라고 해도
네 번째 도착점이 당첨이라고 하면 4번을 선택했을 때
당첨에 도착할 확률이 다른 번호에 비해 훨씬 높습니다

실제로 무작위 사다리 1000개를 만들어 시뮬레이션을 해본 결과
4번이 당첨에 도착할 확률은 21%였고
8번이 당첨에 도착할 확률은 3.3%밖에 되지 않았다고 합니다

큰 수의 법칙에 따라 시행 횟수가 많아지면 확률에 가까워져야 하기 때문에
당첨에 도착할 확률은 번호와 관계없이 12.5%가 돼야 하는데
사실은 그렇지 않았던 것이죠



마찬가지로 첫 번째 도착점이 당첨이라면
1번을 선택했을 때 당첨 확률이 높았고
여덟 번째 도착점이 당첨이라면
8번을 선택했을 때 당첨 확률이 높았습니다

도대체 왜 이런 결과가 나타나는 것일까요

 


사다리타기는 1번과 8번이 연결되어 있지 않기 때문입니다
1번에서 출발하면 중간에 가로줄이 최소 하나는 있기 때문에
100% 확률로 2번으로 가게 됩니다

만약 1번 세로줄에 가로줄이 하나밖에 없다면
1번을 선택했을 때 첫 번째 도착점에 도착할 확률은 0%입니다
사다리타기는 이미 여기서부터 문제가 발생합니다

2번에서 출발하면 50% 확률로 1번이나 3번으로 가게 됩니다
이것은 3번, 4번, 5번, 6번, 7번이 마찬가지이죠

8번 역시 100% 확률로 7번으로 가게 됩니다


이런 이유 때문에 두 번째 도착점이 당첨이라면
2번보다 1번을 선택했을 때 당첨 확률이 높고
일곱 번째 도착점이 당첨이라면
7번보다 8번을 선택했을 때 당첨 확률이 높습니다

즉 사다리타기는 설계부터 공평하지 않은 게임인 것입니다



또 사다리타기는 가로줄을 몇 번 거치느냐에 따라
도착점이 정해집니다

가로줄을 짝수번 거치면 자신을 포함한
짝수만큼 떨어진 도착점에 도착하게 됩니다
예를 들어 1번을 선택했는데 가로줄을 짝수번 거쳤다면
첫 번째, 2칸 떨어진 세 번째, 4칸 떨어진 다섯 번째
6칸 떨어진 일곱 번째 도착점에만 도착합니다

반대로 홀수번 거치면 홀수만큼 떨어진 도착점에 도착하기 때문에
번호와 같은 세로줄의 도착점에는 도착할 수 없습니다


하지만 그렇다고 해서 사다리타기가 언제나 불공평한 것은 아닙니다

가로줄을 많이 그을수록 12.5%에 가까워지게 됩니다
이때 필요한 가로줄은 세로줄 개수에 따라 다른데

세로줄을 N이라고 했을 때 식은 이렇고
이것을 계산해 보면 8명이 참여하는 사다리타기는
392개의 가로줄을 그었을 때 공평한 사다리타기를 할 수 있습니다

그런데 현실적으로 392개의 줄을 그을 수 없기 때문에
사다리타기는 언제나 불공평할 수밖에 없습니다

사다리타기는 일본에서 아미다쿠지라고 불리는데
일본의 교토대학 교수 이노우에 야스히로는
이런 내용을 논문으로 발표하기도 했습니다

 


물론 이것은 당첨이 어디 있는지 알고 있을 때 해당하는 내용입니다
사다리타기는 사다리 모양을 공개하고
당첨칸을 가린 채로 진행하기도 하는데
이때는 어디에 당첨이 있는지 모르기 때문에
가로줄이 많지 않아도 공평한 게임을 할 수 있습니다

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