히읗

0.999...=1인 것을 쉽게 이해시켜 드립니다

뇌를 채워줄 은덩어리 지식들 은근한 잡다한 지식입니다

일러스트를 이용해 최대한 쉽고 간단하게 내용을 전달하기 위해 노력하고 있습니다

많은 관심과 시청 부탁드리겠습니다

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0.999...에 대해 생각해 본 적 있나요

어떤 소수가 있을 때
소수점 아래의 숫자가 무한히 많은 소수를
무한소수라고 합니다

무한소수는 끝없이 이어지기 때문에
그 숫자를 모두 표시할 수 없어 일정 부분만 표현하고
나머지는 ...으로 대체하곤 합니다

https://youtu.be/TUfwrGYkHTw

이때 끝없이 이어지는 숫자가 어떤 규칙을 가지고 반복하면
예를 들어 0.99999999...가 계속 반복된다고 하면
이 수는 무한소수이자 순환소수이며
반복되는 9를 순환마디라고 합니다

그런데 0.999...는 1 과 같다라는 말이 있습니다

1은 1이고 0.999...는 0.으로 시작하기 때문에
아무리 봐도 1보단 작을 것 같은데 말이죠

결론부터 말하면 0.999...는 1이 맞습니다
그리고 생각보다 간단하게 증명할 수 있습니다

1/3을 소수 표현하면 0.333...이 됩니다

양변에 같은 수를 곱하면 그 등식은 여전히 성립하기 때문에
양변에 3을 곱해준다고 하면

3x1/3 = 3x0.333...이 되고
이것을 풀어보면 1=0.999...가 됩니다

엥?
굉장히 쉽죠?

케이크 하나를 세명이 똑같이 나누어 먹는다고 하면
0.333..개씩 먹게 됩니다

그런데 나눈 케이크를 먹지 말고 다시 하나로 합쳐봅시다
0.333...+0.333...+0.333...이 됩니다
이것을 계산하면 0.999...입니다

케이크를 그냥 나누었다가 다시 합쳤을 뿐인데
1이 0.999...가 되어버렸습니다
즉 1=0.999...라는 것입니다

1/11은 0.0909... 순환마디가 09인 순환소수입니다
10/11은 0.9090... 순환마디가 90인 순환소수입니다

이 둘을 더 하면 11/11=0.999...가 됩니다

11/11은 1이므로 1=0.999...입니다

양의 정수, 0, 음의 정수, 유한소수, 순환소수를 합쳐
유리수라고 합니다

그리고 순환하지 않는 무한소수(비순환소수)를
무리수라고 하죠

유리수와 무리수를 합쳐 실수라고 합니다
실수는 수직선을 빈틈없이 채울 수 있습니다

이것을 실수의 완비성이라고 하죠

이때 두 개의 숫자 사이에 어떤 숫자가 올 수 있다면
그 두 개의 수는 서로 다른 것으로 봅니다

예를 들어 0과 1이 있다고 하면
0과 1 사이에는 0.1이라는 수가 올 수 있으니
0과 1은 다른 수입니다

반대로 두 개의 숫자 사이에 어떤 숫자가 올 수 없다면
그 두 개의 수는 서로 같은 것으로 봅니다

1과 0.999... 사이에 어떤 수가 올 수 있을까요
9가 끝없이 이어지기 때문에 1과 0.999... 사이에는
그 어떤 수도 올 수 없습니다

그렇기 때문에 0.999...=1인 것입니다

도대체 왜 이런 일이 일어나는 것일까요
0.으로 시작하는 수가 1과 같다니

이것은 우리가 학교에서 무한이라는 개념을 배울 때
끝없이 다가가는 수라고 배우기 때문입니다

그래서 0.999...는 1에 끝없이 다가가는 수이지
1은 아니다 라고 생각하는 것이죠

그런데 사실 끝없이 다가가는 수라는 건 없습니다
무한이라는 개념을 쉽게 이해시키기 위해 그렇게 표현한 것이지
숫자는 어딜 향해 움직이거나 다가가지 않습니다

0.999...=1이라는 것은
극한, lim를 사용하면 더 자세히 증명할 수 있습니다

극한을 정리하는 방법을 엡실론 델타 논법이라고 합니다
그런데 엡실론 델타 논법에 대해선
저보다 수학을 더 잘하는 수학 전문가
최정담에게 설명을 듣는 것이 좋겠습니다

<수학을 읽는 힘> 링크 : https://url.kr/c2igu5

최정담의 책 수학을 읽는 힘을 보면
0.999...가 왜 1인가에 대해 더 자세히 나와있습니다

뿐만 아니라 영원히 도착할 수 없는 제논의 역설
0이라는 숫자가 등장하게 된 이유
행성 공전에 대한 케플러의 법칙
암호 기계인 에니그마에 대한 내용 같은 것들을

수학이 어려운 사람도 흥미를 가지고 볼 수 있게
쉽고 재밌게 풀어줍니다
최정담의 책 수학을 읽는 힘
금덩어리 분들의 많은 관심 부탁드립니다

6÷2(1+2)의 답은 9일까 1일까

뇌를 채워줄 은덩어리 지식들 은근한 잡다한 지식입니다

일러스트를 이용해 최대한 쉽고 간단하게 내용을 전달하기 위해 노력하고 있습니다

많은 관심과 시청 부탁드리겠습니다

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6 ÷ 2(1 + 2)
영상을 잠깐 멈추고 이 수식을 한번 풀어봅시다

그렇게 어렵진 않았죠?
수식의 정답은 무엇일까요

정답은 9다 라고 하시는 분들도 계실 것이고
뭔 소리야 정답은 1이지라고 하시는 분들도 계실 것입니다

혹시라도 정답은 5아니야? 라고 하시는 분들은
두뇌 풀가동을 하고 다시 풀어보시길 바랍니다

간단한 수식인데
참 이상하게 정답은 9다, 1이다 두 가지로 나누어집니다

https://youtu.be/oxeIZHB-k2M

덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 연산을 사칙연산이라고 하는데
사칙연산을 계산하는 데는 기본적인 규칙이 있습니다

괄호가 있을 경우 괄호를 먼저 계산한다
덧셈, 뺄셈보다 곱셈, 나눗셈을 먼저 계산한다
덧셈, 뺄셈 혹은 곱셈, 나눗셈이 같이 있다면
계산은 왼쪽에서 오른쪽으로 한다

만약 문제가 2 + 2 X 2라고 한다면
곱셈을 먼저 해야 하니 2 X 2를 먼저 하고
이후에 2를 더하게 됩니다

하지만 2 + 2에 ( )가 있다면
2 + 2를 먼저 하게 되죠

그리고 경우에 따라 곱하기와 나누기 기호를 생략하거나
다르게 표기하기도 합니다

이것을 바탕으로 앞의 수식을 같이 풀어봅시다

우선 괄호를 먼저 계산하면 3이 됩니다
그리고 2와 3 사이에는 곱하기가 생략되어 있으니
이제부턴 왼쪽에서 오른쪽으로 순서대로 계산하면 됩니다

6 ÷ 2를 먼저 해주고 그 값에 3을 곱해줍니다

그러면 9라는 답이 나옵니다
이 수식의 정답을 9라고 하시는 분들은
아마 이런 식으로 풀었을 것입니다

하지만 정답이 1이라고 하시는 분들은 조금 다른 방식으로 수식을 풉니다

괄호를 먼저 계산하는 것은 똑같지만
괄호 앞에 곱하기 기호가 생략되어 있다면
이것은 괄호도 역시 생략되어 있는 것으로 보고
괄호에 대한 곱셈을 먼저 하고 나눗셈을 이후에 하게 됩니다

그래서 2 x 3을 먼저 해 6이 나오고
이후에 6 ÷ 6을 하면 1이라는 답이 나옵니다

결국 이 수식은 2(1 + 2)를
하나의 항으로 볼 것인가
아니면 별개의 항으로 볼 것인가에 따라 달라진다고 할 수 있습니다

실제로 이 수식을 검색해 보면
많은 사람들이 9다 1이다를 놓고 논쟁을 하고 있으며
전문가들조차 정답이 두개로 나누어진 상태입니다
이것은 우리나라뿐만 아니라 미국과 일본에서도 마찬가지이죠

그래서 결국 이 수식의 답이 뭐냐 라고 한다면
물론 제가 수학적 권위가 있는 것은 아니지만
둘 다 맞다 하지만 조금 더 정답에 가까운 것은 1아닌가
로 말할 수 있을 것 같습니다

참고로 저는 이 수식을 처음 봤을 때 1로 계산했습니다

정답이 9라고 주장하는 사람들은
없는 괄호를 갑자기 왜 만드냐고 말합니다

하지만 우리는 비슷한 수식을 계산할 때
항상 괄호가 있는 것처럼 계산하곤 했습니다

나눗셈은 보통 분수로 표기하기도 합니다
1 ÷ 2의 경우
1/2로 표기합니다

1 ÷ 2 + 2의 경우
1/2 + 2가 되지만
2 + 2에 ( )가 있다면

1/(2+2) 즉 1/4 됩니다

자 그렇다면 1 ÷ 2x는 어떨까요

이것은 2 X x 지만 곱하기를 생략해 그냥 2x로 표시합니다
원칙대로라면 1/2 X x가 되어야 하지만
2x에 곱하기가 생략되면서 괄호도 같이 생략된 것으로 봐

1/2x로 표현합니다

역시 1 ÷ 2(x + 2)는
1/2(x + 2)이 됩니다

이것을 토대로 앞의 수식도 분수로 표현하면
6/2(1 + 2)이 되고
이것을 계산하면 1이 나오게 됩니다

하지만 이렇다고 해서 9가 정답이 아니라고 확신해서 말할 수는 없습니다

이렇게 하나의 수식에서 두 개의 답이 나오는 이유는
이와 같은 수식은 어떤 식으로 계산하자고
명확하게 정해지지 않았기 때문입니다

문자와 숫자 사이에 있는 곱하기 기호가 생략됐다면
이것은 괄호도 같이 생략된 것으로 보고 먼저 계산하게 됩니다

하지만 보통 숫자와 숫자 사이에 있는 곱하기 기호는 생략하지 않습니다
2 X 2가 있을 때 곱하기 기호를 생략하면
이것이 과연 2 X 2를 말하는 것인지 22를 말하는 것인지
알 수 없기 때문이죠

그런데 문제의 수식에는 숫자와 숫자 사이 곱하기 기호가 생략됐고
우리는 여기서 혼란이 오는 것입니다

수식을 표현할 때 2 + 2 x 2 이렇게 합니다
숫자와 숫자 사이에 기호를 넣는데
이런 표현 방법을 중위 표기법이라고 합니다

수식을 표현하는 다른 방법도 분명 많이 있을 것입니다
그럼에도 전 세계적으로 중위 표기법을 사용하는 이유는
과거 어떤 권위 있는 수학자가 정했기 때문이 아니라
그냥 쓰다 보니 이것이 편해서입니다

그러면서 곱하기를 생략하기도 하고 
괄호를 생략하기도 했죠

수학은 그렇게 변화해 왔고 발전해 왔습니다

미래에는 지금보다 더 단순한 수식이 등장하게 될지도 모릅니다

즉 수학은 아직도 미완성된 상태 어쩌면 영원히 미완성된 상태일 것입니다
수학은 불변의 진리일 것 같지만
이렇게 간단한 수식조차 어떤 것을 먼저 계산해야 하는지에 대한 규칙이
아직도 정확하게 정해지지 않았죠

그래서 이 수식에 대한 답이 두 가지로 갈리는 것입니다

9가 정답인데 1이라고 하는 사람들은 산수도 못하냐?
1이 정답인데 9라고 하는 사람들은 수학 시간에 잤냐?
이렇게 말하곤 합니다

어쩌면 우리 모두는 아직 수학을 모르는 게 아닐까요?

끝으로 수학 문제를 하나 준비해 봤습니다
한번 풀어보시죠
각각 a와 b에 들어갈 숫자는 무엇일까요